Интеграли номуайяни зерин ёфта шавад:
\[\int\left(3 - x^2 \right)^3 dx.\]

Ҳал.

Формулаи зарби мухтасари зеринро истифода бурда:

\[(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\]

барои ифодаи зери интеграл ҳосил менамоем, ки

\[\left(3 - x^2 \right)^3 = 3^3  - 3\cdot 3^2 \cdot x^2 + 3\cdot 3 \cdot (x^2)^2 - (x^2)^3 = 27 - 27x^2 + 9x^4 - x^6.\]

Пас,

\(\begin{multline}
\int\left(3 - x^2 \right)^3 dx = \int\left(27 - 27x^2 + 9x^4 - x^6 \right) dx = \\
= \int 27 dx - \int 27x^2 dx + \int 9x^4 dx - \int x^6 dx = \\
= 27\int dx - 27\int x^2 dx + 9\int x^4 dx - \int x^6 dx =\\
= 27\cdot x - 27\cdot\frac{x^3}{3} + 9\cdot\frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + C = 27x - 9x^3 + \frac{9}{5}x^5 - \frac{1}{7}x^7 + C.
\end{multline}\)

Санҷиш. Барои санҷидани дурустӣ аз ҳал ҳосиларо ҳисоб мекунем ва он бояд ба функсияи зери интеграл баробар шавад:

\(\begin{multline}
\left(27x - 9x^3 + \frac{9}{5}x^5 - \frac{1}{7}x^7 + C\right)' = 27x^{1-1} - 9\cdot 3\cdot x^{3-1} + \frac{9}{5}\cdot 5 \cdot x^{5-1} - \frac{1}{7}\cdot 7 \cdot x^{7-1} + 0 = \\
= 27 - 27x^2 + 9x^4 - x^6 = \left(3 - x^2 \right)^3.
\end{multline}\)